Étudiant en mathématiques fondamentales, diplômé d'un M2 Recherche en Algèbre, Géométrie et Théorie des Nombres. Khôlleur en prépa. Sinon, j'ai 25 ans et je suis marié al hamdulillah.

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Bonjour ! Je m'appelle Samy Mkhinini. Je suis un étudiant en mathématiques fondamentales ayant comme champ de recherche la théorie algébrique des nombres. Passionné par l'arithmétique, je m'intéresse notamment à l'arithmétique des courbes elliptiques, à la théorie d'Iwasawa, à la théorie des systèmes d'Euler, à la théorie de Hodge \(p\)-adique, aux fonctions \(L\) \(p\)-adiques, aux déformations des représentations galoisiennes et au programme de Langlands.

Un problème important en théorie des nombres concerne l'arithmétique des représentations galoisiennes globales, notamment leurs liens avec les valeurs des fonctions \(L\). Dans ce cadre, un outil central est la théorie des systèmes d'Euler. Ces derniers consistent en des collections de classes de cohomologie associées à une représentation galoisienne donnée sur des extensions abéliennes du corps de base, et satisfaisant certaines conditions de compatibilité. Cependant, la construction des systèmes d'Euler est un problème très difficile. L’une des applications les plus puissantes de cette théorie réside l’étude des groupes de Selmer, dont je parle un peu plus bas.

Par exemple, un problème auquel je me suis intéressé l'année dernière en M2 est le suivant : étant donnée une courbe elliptique \(E\) définie sur \(\mathbb{Q}\), on peut considérer les courbes lisses, projectives et géométriquement connexes de genre \(1\) dont \(E\) est la jacobienne, autrement dit les torseurs sous \(E\). Si une telle courbe possède des points "locaux", c'est-à-dire dans \(\mathbb{R}\) et dans chaque \(\mathbb{Q}_p\), pour \(p\) premier, possède-t-elle nécessairement un point "global" dans \(\mathbb{Q}\) ? On appelle ce principe : le principe "local-global". Dans le cas des formes quadratiques, la réponse est oui : c'est le théorème de Hasse-Minkowski. En revanche, dans le cas plus sophistiqué des courbes elliptiques, la réponse est : pas toujours. Toutefois, il existe un objet, attaché à une courbe elliptique, qui mesure précisément les obstructions à ce principe local-global pour les torseurs sous \(E\). Ce dernier s'appelle le groupe de Shafarevich-Tate, et est souvent noté \[\textnormal{Ш}(E/\mathbb{Q}).\] Les éléments non triviaux de ce groupe représentent ainsi les torseurs sous \(E\) qui admettent des points dans \(\mathbb{R}\) et dans tous les \(\mathbb{Q}_p\), mais aucun point rationnel sur \(\mathbb{Q}\). Le cardinal de ce même groupe apparaît notamment dans la conjecture BSD, qui prédit ainsi sa finitude (conjecturée par Shafarevich et Tate), et justement, une avancée majeur allant dans ce sens est due à Victor Kolyvagin. En effet, étant donné un corps \(K\) quadratique imaginaire, ce dernier prouva, sous l'hypothèse \(y_K\) d'ordre infini dans \(E(K)\), que le rang de \(E(K)\) est \(1\) et que le groupe \(\textnormal{Ш}(E/K)\) est fini, d'ordre divisant \(t_{E/K}(I_K)^2\), où \(t_{E/K}\) est un entier dont les facteurs premiers dépendent seulement de \(E\) et où \(I_K = [E(K) : \mathbb{Z}y_K]\), avec \(y_K\) la trace d'un point de Heegner. Combiné à la célèbre formule de Gross-Zagier \[L'(E/K,1) = \frac{\textstyle \iint_{E(\mathbb{C})}\omega\wedge\overline{i\omega}}{\sqrt{D}} \cdot \hat{h}(y_K),\] le théorème de Kolyvagin implique un cas particulier de la conjecture BSD. Cette formule de Gross-Zagier dit en substance que \(\textnormal{ord}_{s=1}L(E/K,s) = 1 \) si, et seulement si, \(y_K\) est d'ordre infini dans \(E(K)\). Pour revenir au groupe de Shafarevich-Tate, il s'avère que ce dernier est très difficile à calculer (d'où l'importance du théorème de Kolyvagin). Toutefois, il existe un autre groupe plus calculable, lié au groupe de Shafarevich-Tate, qui encode à la fois l'information contenue dans \(\textnormal{Ш}(E/\mathbb{Q})\) et dans \(E(\mathbb{Q})\). Il s'agit du groupe de Selmer, noté \[\textnormal{Sel}(E/\mathbb{Q}).\] Là où Kolyvagin a fait fort dans sa preuve, c'est par la méthode qu'il a employée, totalement novatrice pour l'époque. Il utilisa les points de Heegner pour construire un système vérifiant les propriétés de ce qui est désormais appelé un "système d'Euler". À l'aide de ce système d'Euler, Kolyvagin a notamment montré que le groupe de Selmer \(\textnormal{Sel}(E/K)_p\) est cyclique, engendré par un certain élément \(\delta(y_K)\). Pour l'anecdote, avec l'axiomatisation de la théorie des systèmes d'Euler entreprise par B. Mazur et K. Rubin, les systèmes d'Euler de points de Heegner, dits "systèmes d'Euler anticyclotomiques", ne s'inscrivent pas dans le cadre de la définition générale d'un système d'Euler. Pour en savoir plus sur cette (très jolie) théorie, lisez le livre de K. Rubin sur le sujet.

En théorie d'Iwasawa des courbes elliptiques, on étudie la croissance des groupes de Selmer le long de tours d'extensions. Dans ce contexte, le groupe de Selmer joue un rôle analogue à celui du groupe de classes en théorie d'Iwasawa classique : il constitue l'un des principaux objets arithmétiques dont on cherche à comprendre la variation au sein d'une tour d'extension. Plus précisément, si \(E\) est une courbe elliptique définie sur un corps de nombres \(K\) et si \(K_\infty/K\) est une \(\mathbb{Z}_p\)-extension, on peut étudier les groupes de Selmer de \(E\) sur les différents étages de cette extension, ainsi que sur \(K_\infty\). Un des puissants outils utilisés est la théorie de Hodge \(p\)-adique.

La pionnière de ce champ d’étude est Bernadette Perrin-Riou, dont les travaux m’ont beaucoup inspiré durant mon stage de M2. Pour en savoir plus au sujet de la théorie d’Iwasawa, vous pouvez lire un des articles introductifs de Ralph Greenberg, dont deux sont directement accessibles un peu plus bas sur cette page.

Quelques ressources utiles pour découvrir les (magnifiques) maths sur lesquelles je travaille